O manifesto do logaritmo sem base e sua equivalência vetorial

Em 25 de maio de 2026, o pesquisador de tecnologia Alex Kritchevsky publicou o instigante ensaio "Everything is logarithms", no qual propõe uma quebra de paradigma na matemática aplicada e na teoria da computação: a introdução do conceito de logaritmo sem base (baseless logarithm). Em vez de enxergar os logaritmos tradicionais como meros operadores numéricos associados a bases fixas, Kritchevsky argumenta que eles podem ser tratados matematicamente como objetos geométricos abstratos e vetores de coordenadas de forma totalmente livre de unidades. Essa perspectiva reformula de maneira elegante como cientistas e engenheiros interpretam o crescimento de dados, a entropia da informação e as relações dimensionais na infraestrutura de software contemporânea, oferecendo uma nova ferramenta conceitual para a resolução de problemas complexos de análise de sistemas.

A fundação desse novo arcabouço matemática começa com uma crítica à notação convencional de logaritmos que aprendemos na escola. Normalmente, define-se um logaritmo tradicional a partir de sua base, onde a expressão algébrica clássica log_b(x) implica que y = log_b(x) é equivalente à equação exponencial b^y = x. A partir desse ponto, matemáticos historicamente utilizam a fórmula de mudança de base, que estabelece que log_b(x) = log_a(x) / log_a(b). Essa relação deriva diretamente do rearranjo formal da identidade log_a(x) = log_a(b^(log_b x)) = log_b(x) * log_a(b). Embora esses cálculos sejam amplamente utilizados na análise de complexidade de algoritmos de busca e ordenação, Kritchevsky observa que a notação clássica de logaritmos com base muitas vezes confunde e obstrui a verdadeira compreensão física e dimensional dessa operação algébrica.

Para elucidar como essa barreira cognitiva pode ser superada, Kritchevsky sugere que a mudança de base de um logaritmo deve ser interpretada de forma idêntica a uma simples conversão de unidades de medida no mundo físico. Em termos práticos, converter a base de um logaritmo funciona sob a mesma lógica de reescrever uma distância de 2 quilômetros em metros, representada matematicamente pela fração de unidades 2 km = 2000 m / (1000 m / 1 km), ou de converter uma quantidade de dados armazenada em memória através da igualdade de unidades computacionais de armazenamento de informação dada por 5 bytes = 40 bits / (8 bits / 1 byte). Sob essa lógica analítica, a complexa pergunta "quantas cópias da base b estão contidas no número x" se transforma em uma comparação puramente geométrica de grandezas de unidades, o que torna obsoleta a notação que induz o raciocínio a confundir uma razão de fatores multiplicativos com uma divisão puramente linear e aritmética representada graficamente por x/b.

O conceito de logaritmo sem base

A grande inovação teórica detalhada no artigo de 2026 reside no tratamento matemático formal de um objeto abstrato denominado logaritmo sem base, representado graficamente de forma isolada pela expressão log N. Longe de ser apenas uma mera convenção tipográfica ou uma abreviação para ocultar a base natural ou decimal em cálculos assintóticos, Kritchevsky defende que o logaritmo sem base deve ser tratado conceitualmente como um elemento algébrico legítimo do espaço geométrico, o qual por si só não corresponde a nenhum valor numérico real específico. Com essa abstração estabelecida, os logaritmos tradicionais de bases conhecidas passam a ser compreendidos simplesmente como a proporção exata ou a razão entre dois desses logaritmos sem base distintos, permitindo-nos reescrever matematicamente o tradicional logaritmo binário a partir da fórmula analítica inovadora log_2 N = log N / log 2.

Ao adotarmos essa modelagem teórica inovadora, a constante matemática abstrata expressa por log 2 passa a atuam diretamente como a definição formal da unidade de medida de informação que comumente chamamos de "bits". Sob essa conceituação métrica de unidades, representar um logaritmo abstrato log N sob a ótica da unidade física de bits nada mais é do que isolar o fator em termos de múltiplos de log 2, o que gera a seguinte sequência matemática rigorosa de transformações: log N = (log N / log 2) log 2 = log_2(N) log 2 = log_2(N) bits. O mesmo princípio conceitual se estende diretamente se escolhermos como referencial de unidade de medida a base matemática natural constante representada por log e, cuja unidade resultante é tecnicamente conhecida na teoria de canais de dados e compressão de arquivos como "nats", gerando a equivalência geométrica direta de que log N = log_2(N) bits = ln(N) nats.

Kritchevsky constrói uma sólida analogia espacial ao apontar que o logaritmo sem base log N atua na multiplicação de forma idêntica à forma como o conceito de pontos e vetores de deslocamento operam na geometria analítica clássica. Em física e mecânica teórica, é crucial manter uma distinção clara entre um ponto absoluto no espaço e um vetor de deslocamento relativo; um vetor de deslocamento v é invariavelmente construído por meio da diferença posicional entre dois pontos distintos representados graficamente por v = (b) - (a). Ao introduzir coordenadas reais no espaço físico para medições empíricas, somos forçados a eleger uma origem de coordenadas arbitrária denominada O, de modo que os pontos se traduzem matematicamente nas projeções a ≡ (a) - O e b ≡ (b) - O, permitindo calcular o vetor de deslocamento livre da origem por meio do cancelamento aritmético v = b - a = ((b) - O) - ((a) - O) = (b) - (a). O logaritmo abstrato sem base implementa esse exato mecanismo de cancelamento de origem multiplicativa, onde o valor adimensional log N pode ser idealizado como a fração matemática log N / log O para uma escolha genérica de origem conceitual, o que resulta na eliminação algébrica da origem ao calcularmos o logaritmo convencional log_M N = log N / log M = (log N / log O) / (log M / log O).

A equivalência com vetores geométricos

Para justificar formalmente o subtítulo de que "Logarithms are Vectors", o artigo investiga como a álgebra linear e a geometria diferencial distinguem conceitualmente os vetores geométricos abstratos dos vetores expressos em componentes de coordenadas de um sistema referencial. Kritchevsky define os vetores geométricos abstratos como entidades livres de coordenadas e opta por representá-los sistematicamente em negrito através do caractere v, enquanto os correspondentes vetores numéricos de coordenadas formados por tuplas de valores reais são escritos com uma seta superior na notação tradicional vec_v = (v_x, v_y, v_z). O vetor abstrato geométrico de coordenadas de base livre v pode ser formalizado em um plano tridimensional a partir do produto escalar de suas coordenadas numéricas com um conjunto estruturado de vetores de base, denominado frame de referência e denotado por X = (x, y, z), o que resulta na expansão de soma linear padrão expressa pela equação algébrica clássica v = vec_v · X = v_x x + v_y y + v_z z.

A determinação da projeção geométrica de um vetor abstrato v sobre um elemento individual de base x é tratada por Kritchevsky como uma operação de medição escalar que pode ser graficamente representada a partir de um operador de divisão vetorial não convencional, definido pela expressão v / x = v_x. O autor admite voluntariamente em seu ensaio que essa representação gráfica matemática de divisão linear é altamente informal e não ortodoxa, mas enfatiza que seu papel conceitual mimetiza precisamente o comportamento do cálculo de derivadas parciais na análise matemática clássica. No cálculo de campos de potenciais e funções multivariáveis, a extração de componentes individuais associados a uma diferencial de função expressa por df = f_x dx + f_y dy + f_z dz é operada através de uma divisão parcial, o que gera a conhecida equação para derivada parcial representada tecnicamente pela notação tradicional ∂f / ∂x = f_x.

A analogia das unidades físicas

Para facilitar a assimilação dessa conceituação vetorial por profissionais de computação e engenheiros de sistemas, Kritchevsky examina um sistema físico simplificado de apenas uma dimensão geométrica, onde um vetor de deslocamento qualquer é representado pela forma linear simples v = v_x x. Se projetarmos esse vetor unidimensional sobre uma barra ou régua de medição arbitrária descrita algebraicamente como m = m x, a razão matemática resultante que indica a dimensão do vetor em termos dessa régua de medição é dada pela fração de componentes v / m = (v_x x) / (m x) = v_x / m. Para recuperar o vetor original mantendo a integridade de suas propriedades físicas tridimensionais, multiplicamos o resultado obtido de volta pela régua de medição através da igualdade (v / m) m = (v_x / m) (m x). Nesse modelo mecânico elementar, a constante m assume o exato papel da unidade física conhecida como metros, e o termo adimensional v_x/m representa a quantidade escalar de metros que compõe o vetor, demonstrando uma simetria irretocável com o logaritmo sem base, em que log N assume a identidade vetorial livre de escala e log 2 funciona exatamente como o vetor de base unitário ou a régua de medição matemática.

A completa equivalência de equações geométricas proposta no ensaio do autor demonstra que a representação clássica de unidades para logs, expressa pela identidade matemática log N = (log N / log 2) log 2 = log_2(N) bits = (log N / log e) log e = ln(N) nats, comporta-se sob as mesmíssimas propriedades físicas que regem a decomposição de um vetor geométrico sob diferentes eixos coordenados, expressa formalmente pela igualdade vetorial v = (v / x) x = v_x x = (v / x') x' = v_x' x'. De maneira idêntica no cálculo diferencial com múltiplas variáveis físicas de controle, a conservação das variações infinitesimais dada por df = (∂f / ∂x) dx = f_x dx = (∂f / ∂x') dx' = f_x' dx' serve de alicerce para que Kritchevsky demonstre que a clássica fórmula de mudança de base matemática, escrita a partir de log_2 N = (log e / log 2) ln N = log_2(e) ln N, nada mais é do que uma instância especializada da clássica transformação escalar linear de coordenadas espaciais para um mesmo vetor de dimensão fixa, que é tradicionalmente modelada na álgebra linear de matrizes por meio da relação fundamental de escalas v_x = (x' / x) v_x'.

Limitações das derivadas parciais

Contudo, o artigo aponta para um importante limite estrutural na simetria matemática pura entre vetores multidimensionais e a álgebra elementar dos logaritmos, demonstrando que as ferramentas tradicionais de logaritmos não permitem falar de maneira simples sobre projeções parciais ou derivadas parciais em isolamento geométrico. Para ilustrar essa limitação técnica, Kritchevsky recorre ao cenário hipotético em que um número inteiro composto é decomposto em fatores primos e representado pela igualdade algébrica N = 2^a * 3^b. Ao aplicarmos o logaritmo convencional a essa estrutura de dados, o cálculo nos fornece unicamente uma projeção escalar total em relação a uma única base de medida unitária como o logaritmo binário, expressa matematicamente pelo resultado expandido log N / log 2 = a + b log_2 3. Esse cálculo consolidado é conceitualmente equivalente a expressar um vetor tridimensional projetado sobre uma única base linear com o auxílio da álgebra geométrica de Clifford descrita pela soma v / x = v_x + v_y (y / x), ou a calcular a derivada total de uma função multivariável sob a forma clássica de diferencial df / dx = f_x + f_y (dy / dx), sem haver uma forma notacional elementar na matemática básica de isolar individualmente as contribuições dos fatores de crescimento exponencial em uma soma de projeções parciais que resultasse na hipotética e impossível equação N ≈ (log_∂2 N) log 2 + (log_∂3 N) log 3.

A valoração p-ádica na prática

A despeito dessa ausência de ferramentas de projeção de componentes na álgebra escolar de logaritmos, o autor revela de forma fascinante que matemáticos teóricos e cientistas da computação "reinventaram" de maneira independente e implícita esse operador de projeção logarítmica parcial em ramos avançados da ciência matemática. O exemplo prático de maior destaque desse desenvolvimento ocorre na teoria dos números com a introdução da valoração p-ádica, uma função aritmética formalmente definida a partir da igualdade de conjuntos e múltiplos inteiros dada por ν_p(n) = max { k ∈ ℕ | p^k | n }. A finalidade exata dessa consagrada ferramenta teórica é isolar e extrair individualmente o expoente ou coeficiente associado ao fator primo de base logarítmica log p presente na decomposição em fatores primos única e canônica de um número natural qualquer representado por n.

Ao realizarmos a decomposição formal do logaritmo de um número inteiro positivo em sua base de fatores primos distintos, obtemos uma soma linearmente estruturada representada pela equação de logaritmos sem base dada por log n = n_2 log 2 + n_3 log 3 + n_5 log 5 + .... A valoração p-ádica desempenha de maneira estrita o papel exato de extrair o coeficiente escalar correspondente à base procurada através da identidade aritmética simples ν_p(n) = n_p, o que obriga a função a herdar e obedecer a conhecidas propriedades de comportamento logarítmico, como a clássica propriedade de subtração de divisões racionais expressa pela equação matemática fundamental ν_p(m/n) = ν_p(m) - ν_p(n). Esse comportamento algebraicamente idêntico ao de projeções em espaços vetoriais ocorre em uma estrutura que teoricamente atua como um monoide comutativo, mas quando estendida para abranger números puramente racionais ou números com potências fracionárias na forma de radicais matemáticos, os coeficientes de decomposição se estendem para o domínio dos números inteiros e racionais, transformando formalmente essa estrutura matemática em um espaço vetorial genuíno de infinitas dimensões.

Análise complexa e ordem de anulamento

O artigo de Alex Kritchevsky revela outro cenário notável em que o conceito de projeção com logaritmos sem base se materializa de forma oculta: o estudo de funções no campo da análise complexa clássica, mais especificamente na determinação matemática da ordem de anulamento ou ordem de polo (conhecida internacionalmente como order of vanishing) de uma função de variável complexa meromorfa f(z) em torno de uma singularidade ou ponto crítico representado graficamente por z = a. Definido tecnicamente pela notação matemática condensada ord_a f(z), esse parâmetro representa o grau exato do menor expoente inteiro correspondente aos coeficientes não nulos da expansão em série de Laurent da função complexa em questão, a qual é escrita em torno do ponto de análise como a soma de potências f(z) = f_-n (z-a)^-n + f_-n+1 (z-a)^-n+1 + ... + f_-1 (z-a)^-1 + f_0 + f_1 (z-a) + ....

Para extrair numericamente esse importante expoente associado ao comportamento local da função nas vizinhanças do ponto de convergência analisado, matemáticos recorrem a uma precisa formulação limite de logaritmos sem base que opera quando a variável complexa z tende infinitamente ao valor do ponto de referência a, dada pela igualdade analítica rigorosa ord_a f(z) = lim_{z → a} [log f(z) / log(z-a)] = -n. O sucesso rigoroso dessa elegante formulação analítica se deve ao fato de que, quando o parâmetro complexo se aproxima suficientemente da vizinhança imediata de a, o termo de menor grau na série de Laurent associado ao fator de escala f_-n (z-a)^-n passa a dominar de forma assintótica todos os demais componentes infinitesimais da função, fazendo com que a manipulação de logaritmos elimine de forma exata as funções holomorfas secundárias representadas genericamente pelo termo g(z) ao resolver o limite logarítmico lim_{z → a} [log(f_-n (z-a)^-n + g(z)) / log(z-a)].

Investigando os limites lógicos e a simetria de sua proposição de logaritmos sem base, Kritchevsky encerra suas considerações teóricas questionando se seria viável e logicamente consistente postular a existência de uma contraparte complementar para o seu sistema na forma de uma exponencial sem base. Ao examinar minuciosamente o processo matemática reverso em que uma exponenciação padrão de base conhecida do tipo b^(log_b N) é decomposta através do teorema clássico de mudança de base exponencial para a forma natural equivalente dada pela igualdade b^(ln N / ln b) = e^(ln N) = N, o pesquisador conclui de maneira racional que a resposta matemática para tal proposição deve ser negativa. Segundo a análise do autor, não há um caminho matematicamente consistente para atribuir sentido semântico ou utilidade a uma expressão órfã e puramente conceitual desprovida de base física tal como a representação simbólica (*)^(log N), restando ao logaritmo abstrato a propriedade única de separar o operador de base fixa em dois componentes adimensionais, log N e log b, que individualmente não possuem valor numérico direto, mas adquirem pleno sentido geométrico e vetorial quando comparados diretamente sob a forma de frações.

Perspectivas para a computação brasileira

Para o ecossistema brasileiro de ciência da computação e engenharia de software, as ideias apresentadas no artigo de Alex Kritchevsky abrem caminhos significativos para enriquecer a didática acadêmica e os modelos aplicados de teoria da informação nas universidades brasileiras. Tradicionalmente, os conceitos de bits e entropia são apresentados aos estudantes de forma instrumental e procedimentalista, focando essencialmente nas operações de programação com a fórmula matemática convencional log_2 N. Ao propor uma abordagem de "logaritmo sem base" que opera sobre unidades explícitas de informação — tais como as grandezas físicas representadas pelas unidades de bits ou de nats descritas no texto —, professores de algoritmos e pesquisadores de redes de telecomunicação no Brasil passam a dispor de uma ferramenta de visualização dimensional que simplifica o projeto de sistemas complexos de transmissão de dados e algoritmos de compactação, reduzindo o esforço cognitivo exigido na análise geométrica e na álgebra linear aplicada a dados multidimensionais na engenharia moderna.

Essas conexões inovadoras entre objetos algébricos aparentemente desconexos oferecem uma rica base analítica para que desenvolvedores de software repensem a semântica de estruturas matemáticas em linguagens de programação funcionais e na modelagem de sistemas físicos. Ao formalizar os componentes sem base de logaritmo através de razões simples de frações adimensionais de grandezas de escala, o trabalho de Kritchevsky ilustra perfeitamente como problemas teóricos de alta complexidade em análise complexa ou teoria analítica dos números podem convergir para simplificações geométricas limpas e de fácil assimilação prática. Com a constante evolução das ferramentas de processamento de dados e análise algorítmica multidimensional no país, a reinterpretação geométrica dessas identidades matemáticas fundamentais não apenas acelera a pesquisa teórica nacional, mas pavimenta o caminho para a formulação de arquiteturas computacionais muito mais intuitivas, elegantes e matematicamente robustas para o futuro próximo.